Eigentlich erschreckend, doch es gibt bisher tatsächlich keine wirklich gute Anleitung dafür, WIE man an einen mathematischen Beweis herangeht.

Viele Professoren unterstellen ihren Mathe-, Physik- und Informatikstudenten (und wer Beweise sonst noch benötigt) anscheinend, dass man das mit der Zeit "von ganz alleine" lernt, wenn man nur genug Beweise durchgelesen hat.

Ein großer Irrtum!

Daher habe ich hier für dich die bisher einzige Anleitung geschrieben, wie du mathematisch etwas beweist!

Wichtig ist mir vor allem, dass ich dir Einblick in die Gedanken eines Mathematikers gebe. Es geht hier also bewusst NICHT um die typischen Beweisarten (direkter Beweis, indirekter Beweis, Induktion), sondern es geht darum, dir eine Struktur und einen Leitfaden dafür zu geben, wie du an JEDEN Beweis herangehen kannst und damit mathematische Probleme löst.

Am besten ist, wenn du dir zunächst folgendes Video anschaust. Es geht zwar 30 Minuten, doch du wirst sie nicht bereuen! Darin zeige ich dir anhand einer konkreten Beweis-Aufgabe den gesamten Prozess:

- Vom Analysieren der Aufgabenstellung
- dem Finden der Beweisidee
- bis zum Aufschreiben des Ergebnisses.

Lies dir danach den restlichen Artikel hier durch in dem ich das allgemeine Vorgehen beschreibe, damit du es auch auf andere Aufgaben übertragen kannst.

Hat dir das Video gefallen? Dann wirst du meinen Videokurs zum Beweisen  lieben! Darin zeige ich dir:

1.) 10 Standard-Strategien, um deine Beweisaufgabe "im Autopilot" zu vereinfachen, bis nur noch die Beweisidee fehlt
2.) 5 Techniken, wie du konkret auf die Beweisidee kommst! (Sowas hab ich als Student immer vergeblich gesucht!)
3.) 10 Beispiel-Aufgaben (wie das Video oben), wie du alles anwendest

Der Kurs hat schon über 1.000 Studenten dabei geholfen, Beweisaufgaben endlich lösen zu können. Überzeuge dich am besten selbst, denn in Kapitel 1 des Kurses kannst du hier einfach kostenlos reinschnuppern:

Jetzt geht es endlich an den Teil, den der Professor eigentlich beim Stellen einer Aufgabe nur im Sinn hat (Professoren, Übungsleiter und viele gute Mathestudenten finden - so mein Eindruck - nämlich den ganzen Rest dieses Leitfadens als Selbstverständlichkeit bzw. als etwas, das jeder Student mit der Zeit von alleine lernt!).

Was einem kaum jemand sagt: Wie man einen Beweis aufschreibt ist vom Vorgehen her oft völlig verschieden vom Finden des Beweises. Denn: Während man beim Finden der Beweis-Idee (siehe oben) erst auf das Gesuchte schaut und dieses umformt, danach auch das Gegebene und zum Schluss nach dem Bindeglied sucht, so führst du beim Aufschreiben des Beweises den Leser nun stattdessen "straight forward" vom Gegebenen (mit Hilfe deiner gefundenen Beweis-Idee) hin zum Gesuchten. Und das ganze möglichst nachvollziehbar und verständlich.

Das oben war ja alles erstmal trockene Theorie und nicht nur ein Bild sondern auch ein Beispiel sagt ja erstmal mehr als 1000 Worte. Daher widmen wir uns nun einem ausführlichen Beispiel. Ich nehme absichtlich eine Aufgabe, die Vorwissen erfordert, das du nicht unbedingt kennst, denn so ist es ja meistens. Das hat den Vorteil, dass du dich wirklich mit dem Vorgehen beschäftigst und nicht von den Inhalten abgelenkt wirst. Und keine Angst: Alle notwendigen Inhalte erkläre ich unterwegs. Dein Fokus liegt auf dem Vorgehen, denn: Der Leitfaden oben ist universell auf jede Beweisaufgabe anwendbar! Die eigentliche Beweisidee in der Aufgabe hingegen ist sehr kurz, um das Ganze nicht unnötig in die Länge zu ziehen. Mein Ziel ist hier nicht dir zu beschreiben, wie du auf Beweisideen kommst (dazu siehe obige Tipps zur dritten Phase), sondern du sollst erst einmal den Leitfaden als "Autopilot" verwenden können, um überhaupt erstmal einen Ansatz für deine Aufgabe zu haben und dir das Leben leichter zu machen. Hier die Aufgabe:

    Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring mit Hauptidealen (a) und (b). Zeigen Sie: Gilt (a) = (b),  so sind a und b assoziiert.

Hier nun also in schriftlicher Form die Gedanken zur Lösung. Bitte beachte, dass dies natürlich auch nur EIN Beweis ist und nicht DER Beweis. Das gilt vor allem für das fertig aufgeschriebene Ergebnis. Auch die verwendeten Definitionen unten können in deiner Vorlesung minimal anders lauten, da hier jeder Mathe-Professor etwas Spielraum hat.

• Die wichtigsten zwei Fragen für deinen Kopf: Die erste wichtigste Frage für die nächste Phase ist nun: Wann bin ich fertig?
• Angewandt auf unsere Aufgabe ist die Antwort darauf erstmal: Wenn das Gesuchte gezeigt ist, d.h. "Wenn a assoziiert zu b ist" - Was auch immer das heißt ... Inhalte sind derzeit nämlich noch vollkommen egal!

• Das führt direkt zur zweiten wichtigen Frage: Nämlich: Was heißt das?
• In unserer Aufgabe ist dies die Aufforderung, nun in der Vorlesung nach der Definition von "assoziiert" zu schauen. In unserem Fall soll in der Vorlesung stehen: "Zwei Ringelemente a und b heißen assoziiert, wenn a ein Teiler von b (symbolisch a|b) sowie b ein Teiler von a ist". Also ersetze ich den Begriff assoziiert innerhalb meiner Aussage B durch die Definition des Begriffs:
• Die beiden Fragen wiederhole ich nun so oft wie notwendig: Ich frage also wieder: "Wann bin ich fertig?" Antwort nun: Wenn ich gezeigt habe, dass a | b und b | a ist.
• Zwischenfazit: Du hast also mit diesem Schritt den Begriff "assoziiert" vollkommen eliminiert, weil du ihn durch seine Definition ersetzt (bzw. "zerlegt") hast. Und dadurch sind ggf. andere Symbole (z.B. das Teiler Symbol) und Begriffe aufgetaucht, für die du das (wenn notwendig) wiederholen kannst! Dadurch zerlegst du komplizierte Definitionen und mathematisch Symbole Stück für Stück in immer leichter zu verstehende Bausteine.
• Jetzt auch für die "gegeben"-Seite: Da mir der "Grad der Zerlegung" auf der "gesucht"-Seite für den Moment ausreicht (ich könnte ja auch später noch weiter zerlegen, falls notwendig), verfahre ich nun genauso mit der "gegeben"-Seite:
• Ich frage also wieder: "Was heißt das?" Das ist die Frage danach, was ein kommutativer Ring ist, was ein Hauptideal ist und was das Symbol (a) bzw. (b) bedeutet.
• Die Frage nach dem kommutativen Ring R kürze ich hier etwas ab: Nach einiger Recherche in der Vorlesung würde ich feststellen: Ein solcher ist laut Definition eine Menge von "Zahlen" mit gewissen Eigenschaften ("Rechenregeln"). Dieser Ring R dient mir hier nur als Rahmen für die Elemente der Aufgabenstellung und ist daher nicht mein zentraler Fokus. Wichtiger ist der Begriff Hauptideal. Die Vorlesung verrät mir dazu zunächst: "Ein Hauptideal ist ein Ideal, welches von genau einem Element erzeugt" wird.
• Also haben wir den Begriff "Hauptideal" ersetzt durch zwei andere Begriffe: "Ideal" und "erzeugt von einem Element".
• Nächste Frage wieder: Was heißt das? Ich recherchiere weiter: Ein Ideal ist eine Teilmenge meines Ringes (demnach also auch eine Menge von "Zahlen") mit gewissen Eigenschaften. Die Formulierung "erzeugt von einem Element" bedeutet laut Vorlesung, dass jedes Element des Ideals, ein Vielfaches des sog. "Erzeugers" ist. Nach weiterer Recherche (Erzeuger etc.) fasse ich alles nun kurz zusammen:
• Ich weiß nun, dass a und b Ringelemente sind und dass die Symbole (a) und (b) zwei Mengen von "Zahlen" beschreiben (Teilmengen von R um genau zu sein), wobei alle Elemente in (a) einfach "Vielfache von a" sind (analog bei b). Hinweis: Dazu ein Beispiel: (2) als Teilmenge des Ringes der ganzen Zahlen Z wäre einfach die Menge aller Vielfachen von 2, also die Menge aller geraden Zahlen. Wichtig dabei: dies beinhaltet auch die Null und negative gerade Zahlen. Die Menge (a) ist also per Definition nichts anderes als "Alle Elemente der Form a*r wobei r alle Elemente aus dem Ring R durchläuft". Analog bei b natürlich.
• Ich fasse noch einmal zusammen, was gegeben und was zu zeigen ist: Gegeben: Die Gleichheit (a) = (b) ist gegeben und bedeutet: Die Vielfachen von a und die Vielfachen von b sind als Menge gesehen gleich! Zu zeigen: a | b und b | a (d.h. a und b sind jeweils Teiler voneinander).

Puh, ganz schön viel Recherche! Doch das Gute ist: Alles lief bisher im "Autopilot" mit Hilfe des Leitfadens. Weiter geht's, denn nun kommen wir zum "kreativen" Knobelteil:

Jetzt brauchen wir das Ganze nur noch schön kurz und straight forward aufschreiben. Insbesondere starten wir den aufgeschriebenen Beweis nun nicht mit dem zu Zeigenden, sondern mit dem Gegebenen:

Beweis: Sei (a) = (b). Da 1 ein Element von R ist, ist a Element (a) und b Element von (b). Wegen (a) = (b) ist also auch b ein Element von (a) sowie a Element von (b). Per Definition des Hauptideals ist also b ein Vielfaches von a und a ein Vielfaches von b. Also ist a | b und b | a, d.h. a und b sind assoziiert.

Ganz schön kurz für so viel Recherche- und Denkarbeit oder? Das ist auch genau der Grund, wieso ich die meisten vorgestellten Musterlösungen in den Übungen nicht gut fand. Denn wenn nur der Beweis in seiner Endform angeschrieben wird, geht daraus nur noch sehr schwer hervor, wie man selbst dahin gekommen wäre.

Fazit Ich habe mich auf das Ziel (Aussage B) konzentriert und mich immer konsequent damit auseinandergesetzt, was unklare Symbole und Begriffe bedeuten. Am Ende waren die Seiten A und B soweit "zerlegt", dass ich langsam Ähnlichkeiten erkennen konnte. Dann muss ich nur noch das Bindeglied suchen. Am Ende schreibe ich alles kompakt und "linear" ausgehend von Aussage A hin zu Aussage B auf.

Zugegeben: Es ist anfangs bestimmt schwer, oder zumindest ungewohnt, diese Schritte eins zu eins für dich zu übernehmen und auf Aufgaben anzuwenden. Doch lass mich trotzdem wissen, ob und wie dir diese Strategie hilft, da ich sie gern noch weiter verfeinern möchte, damit sie noch mehr Studenten eine Hilfe ist.

Hol dir unbedingt das kostenlose Kapitel 1 meines intuitiven Videokurses Übungsblätter und Klausuren lösen an, in dem ich dir Beweisen und mathematisches Denken so beibringe, dass du SEHR VIEL mehr Punkte in der Klausur und den Übungsblättern holst.

Viel Erfolg beim Beweisen!
Dein Markus